Sirky a Ludolfovo číslo π
Publikováno: 03. 04. 2014 | Autor: Eduard Šubert
V prosinci roku 2013 jsme na Jaderce odhadovali číslo \(\pi\) pomocí hodu sirkou. Ve dvou videích se můžete podívat na to, jak a proč experiment funguje a jak dopadl. Použitou metodu navrhl v 18. století francouzský matematik Georges-Louis Leclerc de Buffon.
Podle experimentu nám vyšel odhad \(3.00\), což se, jak si můžete všimnout, nápadně liší od skutečné hodnoty \(\pi\). Možné důvody, proč experiment vyšel špatně rozebíráme ve druhém videu.
Jak experiment funguje
Potřebujeme sirku (nebo jiný podlouhlý předmět) délky \(l\) a hrací plán, na který vyznačíme rovnoběžné čáry ve stejných vzdálenostech \(d\). Musí platit \(l\lt d\), tedy že sirka je kratší než vzdálenost mezi čarami.
Takto může vypadat hrací plán
Pak stačí náhodně umisťovat sirku na hrací plán (my jsme ji házeli, což se ukázalo jako nedostatečně náhodné) a zapisovat si počet případů, kdy sirka protne jednu z čar a kdy ne.
V prvním videu se můžete podívat na odvození vztahu pro pravděpodobnost jevu, že sirka protne jednu z čar:
\(P(\mbox{sirka protne}) = \frac{2\cdot l}{d\cdot \pi}\)
Ze vzorce můžeme vidět, že se velmi hodí při tvorbě hracího plánu zvolit mezeru mezi čarami \(d=2\cdot l\). Tím se vztah výrazně zjednoduší:
\(P(\mbox{sirka protne}) = \frac{1}{\pi}\)
Pravděpodobnost protnutí odhadneme pomocí napočítaných výsledků a dostaneme odhad pro \(\pi\):
\(\pi \doteq \frac{\mbox{celkem hozených sirek}}{\mbox{celkem sirek, které protli čáru}}\)
Naše výsledky
V našem experimentu jsme kolektivně hodili 1122 sirek, z toho jich 373 při dopadu protlo čáru.
Naměřená data pro analýzu chyby
Abychom mohli rozhodnout o poloze těžiště nebo o rozdílných délkách sirek, provedli jsme několik měření. Sirky jsme vážili, měřili jejich celkovou délku i délku samotného těla bez hlavičky. Výsledky měření si můžete prohlédnout v následující tabulce:
| délka \(\left[cm\right]\) \(\pm 0.005\) |
délka těla \(\left[cm\right]\) \(\pm 0.005\) |
hmotnost \(\left[g\right]\) \(\pm 0.02\) |
|
| 1 | 4.720 | 4.250 | 0.10 |
| 2 | 4.695 | 4.270 | 0.12 |
| 3 | 4.740 | 4.480 | 0.12 |
| 4 | 4.745 | 4.340 | 0.14 |
| 5 | 4.735 | 4.280 | 0.12 |
| 6 | 4.700 | 4.215 | 0.14 |
| 7 | 4.765 | 4.275 | 0.14 |
| 8 | 4.720 | 4.295 | 0.12 |
| 9 | 4.725 | 4.320 | 0.12 |
| 10 | 4.700 | 4.280 | 0.12 |
| 11 | 4.720 | 4.245 | 0.14 |
| 12 | 4.720 | 4.230 | 0.08 |
| 13 | 4.730 | 4.230 | 0.14 |
| 14 | 4.750 | 4.235 | 0.12 |
| 15 | 4.740 | 4.245 | 0.08 |
| 16 | 4.715 | 4.270 | 0.06 |
| 17 | 4.725 | 4.160 | 0.10 |
| 18 | 4.685 | 4.200 | 0.10 |
| 19 | 4.720 | 4.225 | 0.10 |
| 20 | 4.720 | 4.260 | 0.10 |